Question

найти общий интеграл диф.уравнения

Answer 1

Это однородное уравнение. Проведём замену:

$y=tx\y'=t'x+t$

Тогда

$t'x+t=frac{x+tx}{x-tx} \t'x+t=frac{1+t}{1-t} \t'x(1-t)+t-t^2=1+t\frac{dt}{dx} x(1-t)=1+t^2\frac{(1-t)}{1+t^2} dt=frac{dx}{x} \displaystyleintfrac{(1-t)}{1+t^2} dt=ln|x|+C\displaystyleintfrac{dt}{1+t^2} -displaystyleintfrac{tdt}{1+t^2} =ln|x|+C\arctg t-frac{1}{2} displaystyleintfrac{d(1+t^2)}{1+t^2}=ln|x|+C\arctg t-frac{1}{2}ln|1+t^2|=ln|x|+C$

Если $y=tx$, то $t=frac{y}{x}$. Тогда ответ:

$arctg frac{y}{x}-frac{1}{2}lnleft|1+frac{y^2}{x^2}right| =ln|x|+C$

Можно было бы провести еще какие то преобразования, но в принципе и в таком виде ответ выглядит неплохо, да и вашему преподу будет легче проверять.

Answer 2

Такой ответ и нужно оставить, т.к. нужно найти общий интеграл, а не общее решение