Question

100 баллов! Срочно! Исследовать на сходимость ряды
1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3)
2) Сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n)
3) Сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!

Answer 1

Ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится

Пошаговое объяснение:

1) Известно, что ряд сумма $frac{1}{n^{alpha }}$ сходится при α > 1

В частности сходится и ряд суммы $frac{1}{n^{2}}$

Т.к. $n^{2}+2n+3>n^{2}$

то $frac{1}{n^{2}+2n+3}<frac{1}{n^{2}}$

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

2) Аргумент синуса убывает от $frac{pi }{2}$ для 0

Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать

sinx < x

Исследуем на сходимость ряд сумм $frac{pi }{2^{n}}$

Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему

$D=frac{frac{pi}{2^{n+1}}}{frac{pi}{2^{n}}}=frac{1}{2}<1$

По признаку Даламбера ряд сумм $frac{pi }{2^{n}}$ сходится.

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм $sin(frac{pi}{2^{n}})$

3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему

$D=frac{frac{1}{(2n+3)!}}{frac{1}{(2n+1)!}}=frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$

При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.