Question

Система уравнений
$sqrt{(x + 2) {}^{2} } = x + 2 \ sqrt{(x - 2) {}^{2} } = 2 - x$

Answer 1

$begin{cases} sqrt{(x + 2) ^2 } = x + 2\sqrt{(x - 2)^2 } = 2 - x end{cases}$

$begin{cases} |x + 2|= x + 2\|x - 2|= 2 - x end{cases}$

1.

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ |x + 2|= x + 2\|x - 2|= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ -(x + 2)= x + 2\-(x - 2)= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ -x -2= x + 2\-x +2= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ -x -x= 2+2\-x +x= 2 -2 end{cases}$

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ -2x= 4 /:(-2)\0= 0end{cases}$

$begin{cases}x in left(- infty ;-2right]\ x= -2\xin left(-infty;+inftyright) end{cases}$

$x=-2$

----------------------

2.

$begin{cases}x in left(-2;2right]\ |x + 2|= x + 2\|x - 2|= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(-2 ;2right]\ (x + 2)= x + 2\-(x - 2)= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(-2 ;2right]\ x + 2= x + 2\-x +2= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(-2 ;2right]\ x -x= 2-2\-x +x= 2 - 2end{cases}$

$begin{cases}x in left(-2 ;2right]\ 0=0\0=0end{cases}$

$begin{cases}x in left(-2 ;2right]\ xin left(-infty;+inftyright) \ xin left(-infty;+inftyright) end{cases}$

$x in left(-2 ;2right]$

----------------------

3.

$begin{cases}x in left(2;+inftyright) \ |x + 2|= x + 2\|x - 2|= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(2;+inftyright) \ x + 2= x + 2\x - 2= 2 - x end{cases}$

$begin{cases}x in left(2;+inftyright) \ x -x= 2-2\x+x= 2+2end{cases}$

$begin{cases}x in left(2;+inftyright) \0=0\2x= 4 /:2end{cases}$

$begin{cases}x in left(2;+inftyright) \ xin left(-infty;+inftyright) \x= 2end{cases}$

$xin emptyset$

==========================

Ответ

$x in left[-2;2 right]$

Answer 2

зачем рассматривать интервалы, если значение модуля всегда неотрицательное. Достаточно было по правой части выбрать один интервал.

Answer 3

Ответ: -2 ≤ x ≤ 2

Пошаговое решение:

Первое уравнение: при значениях x+2≥0 откуда x≥-2 возводим в квадрат левую и правую части уравнения, получим

$(x+2)^2=(x+2)^2$

Это уравнение верно для x≥-2

Аналогично со вторым уравнение. При значениях 2-x≥0, откуда x≤2 возводим в квадрат обе части уравнения, получим

$(x-2)^2=(x-2)^2$

И это равенство верно для x≤2

Решением системы уравнений является пересечения решений двух уравнений, т.е. -2 ≤ x ≤ 2