Question

Вычислить интеграл ∫x^2e^xdx
$int {x^{2} } e^{x} , dx$

Answer 1

Интегралы подобного типа следует брать по частям.

$int {u} , dv = uv-int v, du$

В нашем случае: $u=x^2, du=2xdx\\dv=e^xdx, v=e^x$

$int {x^2e^x}, dx=x^2e^x-2int {xe^x}, dx$

Для получившегося интеграла снова нужно применить формулу выше:

$int {xe^x}, dx=xe^x-int {e^x}, dx=xe^x-e^x+C$

Тогда в итоге получим:

$int {x^2e^x}, dx=x^2e^x-2int {xe^x}, dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=\\=e^x(x^2-2x+2)+C$