Question

Помогите пожалуйста решить, я скинул фотку

Answer 1

$8sin^2frac{2pi x}{9} +2(sqrt{3}+2)cosfrac{2pi x}{9}=8+sqrt{3}\8-8cos^2frac{2pi x}{9}+2(sqrt{3}+2)cosfrac{2pi x}{9}=8+sqrt{3}\8cos^2frac{2pi x}{9}-2(sqrt{3}+2)cosfrac{2pi x}{9}+sqrt{3}=0$

Теперь проведем стандартную замену $cosfrac{2pi x}{9}=t, |t|<1$

И не совсем стандартную, но удобную для вычислений: $sqrt{3}+2=a$

Тогда

$8t^2-2at+a-2=0\D=4a^2-32(a-2)=4a^2-32a+64=(2a-8)^2\sqrt{D}=2a-8\t_1=frac{2a+2a-8}{16} =frac{4a-8}{16} =frac{4sqrt{3}+8-8}{16} =frac{sqrt{3}}{4}\t_2=frac{2a-2a+8}{16} =frac{1}{2}$

Оба числа по модулю меньше единицы, поэтому делать нечего, нужно решать дальше.

Получаем совокупность уравнений

$left [ begin{gathered} cosfrac{2pi x}{9} =frac{sqrt{3}}{4} \ cosfrac{2pi x}{9}=frac{1}{2} end{gathered}$

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень уравнения. Если мы сейчас будем сразу решать уравнение относительно х и долбиться со всеми этими $frac{2pi x}{9}$, это будет довольно нудно. Пойдем другим путем. Проведем еще одну замену $varphi=frac{2pi x}{9}$

и найдем наибольший отрицательный корень $varphi$. В самом деле, такой корень будет больше всех остальных отрицательных корней уравнения, при переходе обратно к иксу мы умножим все корни на $frac{9}{2pi}$. Число это положительное, поэтому найденный нами x по прежнему будет наибольшим из всех других отрицательных х.

Итак:

$left [ begin{gathered} cosvarphi =frac{sqrt{3}}{4} \ cosvarphi=frac{1}{2} end{gathered}$

$varphi_1=pm arccosfrac{sqrt{3}}{4} +2pi n\varphi_2=pm frac{pi}{3} +2pi k\n, k in mathbb{Z}$

Наибольший отрицательный для первой серии корней:

$varphi_{max1}=-arccosfrac{sqrt{3}}{4}$

Для второй:

$varphi_{max2}=-frac{pi}{3}$

Несложно показать, что

$varphi_{max1}<varphi_{max2}$

Поэтому наибольший отрицательный корень:

$varphi_{max}=-frac{pi}{3}$

Тогда

$frac{2pi x_{max}}{9}=-frac{pi}{3} \x_{max}=-1.5$

Ответ: -1.5