Question

Вычислить определённый интеграл

Answer 1

Проведем замену:

$t=sqrt[3]{x+1} \x+1=t^3\dx=3t^2dt$

Когда x пробегает значения от 0 до 7, t принимает значения от 1 до 2. Подставляем всё это в интеграл и получаем:

$displaystyleintlimits_0^7frac{dx}{1+sqrt[3]{x+1}} =displaystyleintlimits_1^2frac{3t^2dt}{1+t}=3displaystyleintlimits_1^2frac{t(t+1)-(t+1)+1}{t+1}dt =3displaystyleintlimits_1^2left(t-1-frac{1}{t+1}right)dt=3left(frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|right)left.begin{matrix}&\&end{matrix}right|_{1}^{2}=3left(2-2+ln3-frac{1}{2}+1-ln2right)=frac{3}{2} -lnfrac{27}{8}approx \approx 2.72$