Question

$a_{n}=frac{6n+7}{5n-1} a=frac{6}{5} \lim (a_{n})=a$
при n->oo доказать

Answer 1

Ответ:

$limlimits_{ntoinfty} frac{6n + 7}{5n - 1} = limlimits_{ntoinfty} frac{n(6 + frac{7}{n})}{n(5 - frac{1}{n})} = frac{6}{5}$

Пошаговое объяснение:

По определению:

$limlimits_{n to infty} a_n = A leftrightarrow (forall varepsilon > 0 exists n_0 = N(varepsilon) colon forall mathbb{N} ni n > n_0 to |a_n - A| < varepsilon)$

Докажем, что начиная с какого-то $n_0$ будет верно $|a_n - frac{6}{5}| < varepsilon$ для любого $varepsilon > 0$.

$|frac{6n + 7}{5n - 1} - frac{6}{5}| < varepsilon\|frac{30n + 35 - 30n + 6}{25n -5}| < varepsilon\|frac{41}{25n - 5}| < varepsilon\n in mathbb{N} to 25n - 5 > 0\varepsilon(25n - 5) > 41 \n > frac{frac{41}{varepsilon} + 5}{25}$.

Данное уравнение разрешимо для любого $varepsilon > 0$, следовательно, $frac{6}{5}$ есть предел последовательности.