В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E, F, M - середины ребер АA₁, AB, СС₁.
Найти угол между плоскостями EFD i A₁D₁M.
Прямоугольная система введена таким образом, что начало координат находится в точке D, a положительные направления осей ОХ, OY, OZ ребра DA, DC, DD₁, AA₁ = 1
Ответы
На основании принятой системы координат определяем координаты точек, лежащих на заданных плоскостях и по ним находим уравнения плоскостей.
E(1; 0; 0,5), F(1; 0,5; 0), D(0; 0; 0).
Плоскость EFD:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xE y - yE z - zE
xF - xE yF - yE zF - zEA
xD - xE yD - yE zD - zE
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 0,5
1 - 1 0,5 - 0 0 - 0,5
0 - 1 0 - 0 0 - 0,5
= 0
x - 1 y - 0 z - 0,5
0 0,5 -0,5
-1 0 -0,5
= 0
( x - 1) 0,5·(-0,5)-(-0,5)·0 - (y - 0) 0·(-0,5)-(-0,5)·(-1) + (z - 0,5) 0·0-0,5·(-1) = 0
(-0,25) x - 1 + 0,5 y - 0 + 0,5 z - 0,5 = 0
- 0,25x + 0,5y + 0,5z = 0
EFD : x - 2y - 2z = 0.
A₁(1; 0; 1), D₁(0; 0: 1), M(1; 1; 0,5).
Плоскость A1D1M:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA1 y - yA1 z - zA1
xD - xA1 yD - yA1 zD - zA1
xM - xA1 yM - yA1 zM - zA1
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 1
0 - 1 0 - 0 1 - 1
1 - 1 1 - 0 0,5 - 1
= 0
x - 1 y - 0 z - 1
-1 0 0
0 1 -0,5
= 0
(x - 1) 0·(-0,5)-0·1 - (y - 0) (-1)·(-0,5)-0·0 + (z - 1) (-1)·1-0·0 = 0
0 x - 1 + (-0,5) y - 0 + (-1) z - 1 = 0
- 0,5y - z + 1 = 0
A1D1M: - y - 2z + 2 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
x - 2y - 2z = 0 и
- y - 2z + 2 = 0
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))
cos α = |1·0 + (-2)·(-1) + (-2)·(-2)| /(√(1² + (-2)² + (-2)²)*√(0² + (-1)² + (-2)²)) =
= |0 + 2 + 4| /(√(1 + 4 + 4)*√(0 + 1 + 4)) =
= 6/(√9*√5) = 6 /√45 = 2√5/5 ≈ 0,8944272.
α = 26,56505°