Question

Дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , … , a n , у которой a 1 = 15 , a n = 4 . Найдите n , если известно, что 1 /(a 1 a 2) + 1 /(a 2 a 3) + 1 /(a 3 a 4 )+ … + 1/( a n − 1 a n) = 11 .

Answer 1

Ответ: 661

Пошаговое объяснение:

$dfrac{1}{a_1a_2}+dfrac{1}{a_2a_3}+dots+dfrac{1}{a_{n-1}a_n}=-dfrac{1}{d}left(dfrac{1}{a_1(a_1+d)}+dfrac{1}{(a_1+d)(a_1+2d)}+dots +$

$dfrac{1}{(a_1+(n-2)d)(a_1+(n-1)d)}bigg)=-dfrac{1}{d}left(dfrac{a_1-(a_1+d)}{a_1(a_1+d)}+dfrac{a_1+d-(a_2+2d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+$

$+dots +dfrac{a_1+(n-2)d-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-2)d)(a_1+(n-1)d)}bigg)=-dfrac{1}{d}bigg(dfrac{1}{a_1+d}-dfrac{1}{a_1}+dfrac{1}{a_1+2d}-\ \ -dfrac{1}{a_1+d}+...+dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-dfrac{1}{a_1+(n-2)d}bigg)=dfrac{1}{d}bigg(dfrac{1}{a_1}-dfrac{1}{a_n}bigg)=11\ \ d=dfrac{1}{11}times bigg(dfrac{1}{15}-dfrac{1}{4}bigg)\ \ d=-dfrac{1}{60}\ \ a_n=a_1+(n-1)d~~Leftrightarrow~~ n=661$