Question

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)

$y=(x^{2}+7 )^{ctg7x}$

Answer 1

Ответ:$y'=(x^2+7)^{ctg(7x)}cdot( -frac{7ln(x^2+7)}{sin^2(7x)}+frac{2xcdot ctg(7x)}{x^2+7})$

Пошаговое объяснение:

найти производную (похідну)

$y=(x^2+7)^{ctg(7x)}$

Логарифмируем обе части уравнения

$ln(y)=ln((x^2+7)^{ctg(7x)})$

$ln(y)=ctg(7x)cdot ln(x^2+7)}$

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .

                         (u·v)' = u'·v + u·v'

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

$(ln(y))'=(ctg(7x)cdot ln(x^2+7)})'$

$frac{y'}{y}= (ctg(7x))'cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)cdot(ln(x^2+7))'$

$frac{y'}{y}= -frac{1}{sin^2(7x)}cdot(7x)'cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)cdotfrac{1}{x^2+7}cdot(x^2+7)'$

$frac{y'}{y}= -frac{7}{sin^2(7x)}cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)cdotfrac{2x}{x^2+7}$

$y'=y( -frac{7}{sin^2(7x)}cdot ln(x^2+7)+ctg(7x)cdotfrac{2x}{x^2+7})$

Окончательно:

$y'=(x^2+7)^{ctg(7x)}cdot( -frac{7ln(x^2+7)}{sin^2(7x)}+frac{2xcdot ctg(7x)}{x^2+7})$