Question

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)

$left { {{y=2+cos t} atop {x=t+sin t}} right.$

y''xx-?

пожалуйста

Answer 1

Ответ:$y''_{xx}=-frac{1}{(1+cost)^2}$

y''ₓₓ= -1/(1+cost)²

Пошаговое объяснение:

Помогите, пожалуйста, найти производную (похідну)  y''xx-?

$left { {{y=2+cost} atop {x=t+sint}} right.$

Функция задана параметрически

$left { {{x=varphi (t)} atop {y=psi(t)}} right.$

Первая производная находиться по формуле

$y'_x=frac{y'_t}{x'_t}$

Вторая производная находиться по формуле

$y''_{xx}=frac{x'_tcdot y''_{tt}-x''_{tt}cdot y'_t}{(x'_t)^3}$

Находим первые производные

$x'_t = (t+sint)' = t' +(sint)' =1 +cost$

$y'_t=(2+cost)' =(2)' +(cost)' =-sint$

$y'_x=frac{y'_t}{x'_t}=frac{-sint}{1+cost}=-frac{sint}{1+cost}$

Находим вторые производные

$x''_{tt} = (1 +cost)' = (1)' +(cost)'=-sint$

$y''_{tt}=(-sint)'=-cost$

$y''_{xx}=frac{(1+cost)cdot(-cost)-(-sint)cdot(-sint)}{(1+cost)^3}=frac{-cost-(cost)^2-(sint)^2}{(1+cost)^3}=-frac{1+cost}{(1+cost)^3}=-frac{1}{(1+cost)^2}$

При преобразовании использовали тригонометрическое равенство

                                                  sin²t + cos²t  = 1