Question

Помогите, пожалуйста, найти производную.

Answer 1

Для дифференцирования функции вида $y=f(x)^{g(x)}$ применяется логарифмическое дифференцирование.

1.

$y=(arcsin x)^{e^x}$

$ln y=ln(arcsin x)^{e^x}$

$ln y=e^xlnarcsin x$

$(ln y)'=(e^xlnarcsin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=(e^x)'cdotlnarcsin x+e^xcdot(lnarcsin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=e^xcdotlnarcsin x+e^xcdotdfrac{1}{arcsin x} cdot(arcsin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=e^xcdotlnarcsin x+e^xcdotdfrac{1}{arcsin x} cdotdfrac{1}{sqrt{1-x^2}}$

$dfrac{1}{y}cdot y'=e^xleft(lnarcsin x+dfrac{1}{arcsin x} cdotdfrac{1}{sqrt{1-x^2}}right)$

$y'=ycdot e^xleft(lnarcsin x+dfrac{1}{arcsin x} cdotdfrac{1}{sqrt{1-x^2}}right)$

$y'=e^x(arcsin x)^{e^x}left(lnarcsin x+dfrac{1}{arcsin x} cdotdfrac{1}{sqrt{1-x^2}}right)$

2.

$y=x^{arcsin x}$

$ln y=ln x^{arcsin x}$

$ln y=arcsin xln x$

$(ln y)'=(arcsin xln x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=(arcsin x)'cdotln x+arcsin xcdot(ln x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=dfrac{1}{sqrt{1-x^2} } cdotln x+arcsin xcdotdfrac{1}{x}$

$y'=ycdotleft(dfrac{ln x}{sqrt{1-x^2} } +dfrac{arcsin x}{x} right)$

$y'=x^{arcsin x}left(dfrac{ln x}{sqrt{1-x^2} } +dfrac{arcsin x}{x} right)$

3.

$y=(sin x)^{5e^x}$

$ln y=ln(sin x)^{5e^x}$

$ln y=5e^xlnsin x$

$(ln y)'=(5e^xlnsin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=(5e^x)'cdotlnsin x+5e^xcdot(lnsin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=5e^xcdotlnsin x+5e^xcdotdfrac{1}{sin x}cdot (sin x)'$

$dfrac{1}{y}cdot y'=5e^xlnsin x+5e^xcdotdfrac{1}{sin x}cdot cos x$

$dfrac{1}{y}cdot y'=5e^xlnsin x+5e^xmathrm{ctg} x$

$dfrac{1}{y}cdot y'=5e^x(lnsin x+mathrm{ctg} x)$

$y'=ycdot 5e^x(lnsin x+mathrm{ctg} x)$

$y'=5e^x(sin x)^{5e^x}(lnsin x+mathrm{ctg} x)$