Question

Помогите, пожалуйста, найти производную у' по х

Answer 1

Производная функции, заданной параметрически определяется по формуле: $y'_x=dfrac{y'_t}{x'_t}$

21.

$left{begin{array}{l} x=dfrac{3t^2+1}{3t^3}\y=sinleft(dfrac{t^3}{3}+tright) end{array}$

$x'_t=left(dfrac{3t^2+1}{3t^3}right)'=left(dfrac{1}{t}+dfrac{1}{3t^3}right)'=left(dfrac{1}{t}+dfrac{1}{3}t^{-3}right)'=\=-dfrac{1}{t^2}+dfrac{1}{3}cdot(-3t^{-4})=-dfrac{1}{t^2}-dfrac{1}{t^4}=-dfrac{t^2+1}{t^4}$

$y'_t=left(sinleft(dfrac{t^3}{3}+tright)right)'=cosleft(dfrac{t^3}{3}+tright)cdotleft(dfrac{t^3}{3}+tright)'=cosleft(dfrac{t^3}{3}+tright)cdotleft(t^2+1right)$

$Rightarrow y'_x=dfrac{y'_t}{x'_t}=dfrac{left(t^2+1right)cosleft(dfrac{t^3}{3}+tright)}{-dfrac{t^2+1}{t^4}}=-t^4cosleft(dfrac{t^3}{3}+tright)$

22.

$left{begin{array}{l} x=arcsin(sin t) \ y=arccos(cos t) end{array}$

$x'_t=(arcsin(sin t))'=dfrac{1}{sqrt{1-(sin t)^2} } cdot(sin t)'=dfrac{1}{sqrt{cos^2t}}cdotcos t=dfrac{cos t}{|cos t|}$

$y'_t=(arccos(cos t))'=-dfrac{1}{sqrt{1-(cos t)^2} } cdot(cos t)'=-dfrac{1}{sqrt{sin^2t}} cdot(-sin t)=dfrac{sin t}{|sin t|}$

$Rightarrow y'_x=dfrac{y'_t}{x'_t}=dfrac{dfrac{sin t}{|sin t|}}{dfrac{cos t}{|cos t|}}=dfrac{sin t|cos t|}{cos t|sin t|}=dfrac{mathrm{tg}t}{|mathrm{tg}t|}$

23.

$left{begin{array}{l} x=sqrt{1-t^2} \ y=mathrm{tg}sqrt{1+t} end{array}$

$x'_t=(sqrt{1-t^2})'=dfrac{1}{2sqrt{1-t^2}} cdot(1-t^2)'=dfrac{1}{2sqrt{1-t^2}} cdot(-2t)=-dfrac{t}{sqrt{1-t^2}}$

$y'_t=(mathrm{tg}sqrt{1+t})'=dfrac{1}{(cossqrt{1+t})^2} cdot(sqrt{1+t})'=\=dfrac{1}{cos^2sqrt{1+t}} cdotdfrac{1}{2sqrt{1+t}}=dfrac{1}{2sqrt{1+t}cos^2sqrt{1+t}}$

$Rightarrow y'_x=dfrac{y'_t}{x'_t}=dfrac{dfrac{1}{2sqrt{1+t}cos^2sqrt{1+t}}}{-dfrac{t}{sqrt{1-t^2}}}=-dfrac{sqrt{1-t^2}}{2tsqrt{1+t}cos^2sqrt{1+t}}$

Answer 2

а почему во втором примере выражение под модулем?