Числа p и q подобраны так, что парабола y=qx−x2 пересекает гиперболу xy=p в трёх различных точках A,B и C, причём сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. Если возможных различных значений произведения pq окажется несколько, в ответе укажите их сумму.
Ответы
Ответ:
pq = 54
Пошаговое объяснение:
Пусть точки пересечения имеют вид ,
и
. Выразим через координаты то, что дано в условии.
Сумма квадратов сторон:
(a - сумма квадратов, b - сумма попарных произведений)
Расстояние от начала координат до точки пересечения медиан
Известно, что координаты точки пересечения медиан можно найти по формулам:
Тогда квадрат расстояния от начала координат до точки пересечения медиан, для удобства умноженный на 9, выражается так:
Получилась система линейных уравнений на a и b. Из неё 4b = 2 * 81 - 378 = -216, b = -54. Осталось выразить сумму попарных произведений, для этого понадобится немного преобразовать систему и вспомнить теорему Виета.
Умножаем уравнение параболы на x и заменяем xy на p, получается кубическое уравнение . Понятно, что найдя из этого уравнения x, потом по формуле y = p/x однозначно найдем y. Значит,
,
и
- корни кубического уравнения. По теореме Виета сумма их попарных произведений равна коэффициенту при x, он равен нулю.
Умножаем уравнение параболы на , избавляемся от x и получаем
. Аналогично, нужна сумма попарных произведений, она равна -pq.
Приравниваем: