Question

Докажите справедливость равенства sin 4A + sin4B + sin 4C = - 4 sin 2A sin 2B sin 2C (зная, что А, B и С внутренние углы некоторого треугольника)

Answer 1

$A+B+C=180^o$

$C=180^o-(A+B)$

$2C=360^o-2(A+B)$

$sin2C=sin[360^o-2(A+B)]=-sin(2A+2B) Rightarrowsin(2A+2B)=-sin 2C$

$cos2C=cos[360^o-2(A+B)]=cos(2A+2B)$

$sin 4A + sin 4B + sin 4C = - 4 sin 2A sin 2B sin 2C$

$sin 4A + sin 4B + sin 4C =2sin frac{4A+4B}{2}cos frac{4A-4B}{2} +2sin2Ccos2C=$

$2sin(2A+2B)cos(2A-2B) +2sin2Ccos2C=$

$-2sin2Ccos(2A-2B) +2sin2Ccos(2A+2B)=$

$-2sin2C[cos(2A-2B) -cos(2A+2B)]$

$-2sin2C cdotleft[ -2sinfrac{2A-2B+2A+2B}{2}sin frac{2A-2B-2A-2B}{2} right] =$

$4sin2C sin2Asin(-2B) =$

$-4sin2Asin2Bsin2C$