Question

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

Answer 1

Ответ:

$lim_{x to infty} frac{10x^2-x+1}{5x^2+6x-2}=2$

$lim_{x to -2} frac{x^2-x-6}{x^2+7x+10}=-frac{5}{3}=-1frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль или бесконечность в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

если

$lim_{x to a} f(x)=lim_{x to a} g(x)= infty$

или

$lim_{x to a} f(x)=lim_{x to a} g(x)= 0$

то

$lim_{x to a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to a} frac{f'(x)}{g'(x)}$

$lim_{x to infty} frac{10x^2-x+1}{5x^2+6x-2}=left [ frac{infty}{infty}right]= lim_{x to infty}frac{(10x^2-x+1)'}{(5x^2+6x-2)'}=$$lim_{x to infty}frac{20x-1}{10x+6}=left [frac{infty}{infty}right] =$

$=lim_{x to infty}frac{(20x-1)'}{(10x+6)'}=lim_{x to infty}frac{20}{10}=2$

$lim_{x to -2} frac{x^2-x-6}{x^2+7x+10} = left [ frac{0}{0}right]= lim_{x to -2} frac{(x^2-x-6)'}{(x^2+7x+10)'} =$

$=lim_{x to -2} frac{2x-1}{2x+7}=frac{2cdot(-2)-1}{2cdot(-2)+7}=frac{-5}{3}=-1frac{2}{3}$