Question

Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

Answer 1

Пусть это числа

$a_1leqslant a_2leqslantdotsleqslant a_kleqslant 0<a_{k+1}leqslant a_{k+2}leqslantdotsleqslant a_n$

Заметим, что если сумма всех чисел равна 0, то сумма положительных чисел должна быть равна сумме неположительных, а суммы модулей равны:

$a_1+a_2+dots+ a_k=-(a_{k+1}+dots+a_n)\|a_1|+|a_2|+dots |a_k|=|a_{k+1}|+dots+|a_n|$

Поскольку сумма модулей всех чисел равна a, то сумма модулей только положительных или только неположительных чисел равна a/2.

Оцениваем по принципу Дирихле:

$-a_1=|a_1|geqslant dfrac{|a_1|+dots+|a_k|}{k}=dfrac a{2k}\a_n=|a_n|geqslant dfrac{|a_{k+1}|+dots+|a_n|}{n-k}=dfrac a{2(n-k)}$

Складываем и получаем

$a_n-a_1geqslantdfrac{a}{2k}+dfrac{a}{2(n-k)}=dfrac{an}{2k(n-k)}=dfrac{a}{2ncdotfrac kn(1-frac kn)}$

Функция f(x) = x(1 - x) - квадратичная, принимает максимальное значение в вершине параболы, оно равно f(1/2) = 1/4. Тогда

$a_n-a_1geqslantdfrac{a}{2ncdotfrac kn(1-frac kn)}geqslantdfrac{a}{2ncdotfrac14}=dfrac{2a}n$