Question

Номер 240, помогите решить.

Answer 1

Ответ:

(0; -3) - точка минимума

Пошаговое объяснение:

$z = (x^2 + 6y)e^{frac{y}{3} }\\dfrac{dz}{dx} =2xe^{frac{y}{3} }=0\\dfrac{dz}{dy}= frac{1}{3}x^2e^{frac{y}{3} }+6e^{frac{y}{3} }+2ye^{frac{y}{3} }=0\\x=0\2y+6=0\y=-3$

Критическая точка: (0; -3)

$dfrac{d^2z}{dx^2} =2e^{frac{y}{3} }\\dfrac{d^2z}{dxdy} =frac{2}{3} xe^{frac{y}{3} }\\dfrac{d^2z}{dy^2} =(frac{1}{9} x^2+frac{2}{3}y+4)e^{frac{y}{3} }\\A=2e^{frac{-3}{3} }=2e^{-1}>0\\B=frac{2}{3} *0*e^{frac{-3}{3} }=0\\C=(-2+4)e^{-1}=2e^{-1}\\AC-B^2=4e^{-2}>0$

Значит, точка (0; -3) - точка минимума