Question

Не используя производной, найдите наибольшее значение функции
y=sinx(12cosx-5sinx)

Answer 1

12cosx - 5sinx = 13( 12/13 cosx - 5/13 sinx) = {(12/13)^2 + (5/13)^2 = (144+25)/169 = 1 -> 12/13 = cos(a), 5/13 = sin(a)} = 13(cosa cosx - sina sinx) = 13cos(x + a)

sinx(12cosx - 5sinx) = 13 sinx cos(x+a) = 13/2[ sinx cos(x+a) + sin(x+a) cosx + sinx cos(x+a) - sin(x+a) cos(x) ] = 13/2[ sin(x + x + a) + sin(x - x - a) ] = 13/2 [ sin(2x + a) - sina ] = 13/2 sin(2x+a) - 13/2 * 5/13 = 13/2 sin(2x + a) - 5/2

sin(2x + a) <= 1; при x = (П/2 - a)/2, 2x + a = П/2, sin(2x + a) = 1

Макс. значение: 13/2 - 5/2 = 8/2 = 4

Answer 2

после "13 sinx cos(x+a)" непонятно, можно дать комментарий к следующему действию?

Answer 3

Просто формула для перехода от произведения к сумме

Answer 4

Если сложить то, что в скобках, получится 2 sinx cos(x+a). С другой стороны, там записаны выражения для синуса суммы и синуса разности

Answer 5

$y=sin(x)cdot (12cos(x)-5sin(x))=13sin(x)cdot (frac{12}{13}cos(x)-frac{5}{13}sin(x))\\(12/13)^2+(5/13)^2=1\\cosvarphi =12/13\sinvarphi=5/13$

$y=13sin(x)(cos(varphi)cos(x)-sin(x)sin(varphi))=13sin(x)cos(x+varphi)=\\=frac{13}{2}(sin(x+x+varphi)+sin(x-x-varphi))=frac{13}{2}(sin(2x+varphi)-frac{5}{13})=\\=frac{13}{2}sin(2x+varphi)-2.5$

$-1leq sin(2x+varphi) leq 1\\-frac{13}{2}leq frac{13}{2}sin(2x+varphi) leq frac{13}{2}\\-6.5-2.5leq frac{13}{2}sin(2x+varphi)-2.5 leq 6.5-2.5\\-9leq frac{13}{2}sin(2x+varphi)-2.5 leq 4$

Значит наибольшее значение функции у равно 4.

Answer 6

"4" правильный ответ

Answer 7

перепутали знак перед 2,5... должен быть "минус"... и функция в интервале от -9 до 4... максимум = 4

Answer 8

Поправила ошибку, спасибо что заметили.