Question

гипотенуза прямоугольного треугольника равна 14см,а сумма длин катетов равна 19,6см. найти длину каждого катета.

Answer 1

Обозначим стороны треугольника через a, b и с. Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза.

Тогда задачу можно свести к решению системы из двух уравнений. Одно из них - теорема Пифагора, второе сумма длин катетов.

$begin{cases}a^2 + b^2 = 14^2,\a + b = 19,6.end{cases}$

Выразим из второго уравнения переменную b.

$begin{cases}a^2 + b^2 = 14^2,\b = 19,6 - a.end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое.

$a^2 + (19,6 - a)^2 = 14^2;\a^2 + 19,6^2 - 2times 19,6a + a^2 - 14^2 = 0;\2a^2 - 2times 19,6a + (19,6^2 - 14^2) = 0;\2a^2 - 2times 19,6a + (19,6 - 14)(19,6 + 14) = 0;\2a^2 - 2times 19,6a + 5,6times 33,6 = 0;\a^2 - 19,6a + 94,08 = 0;\D = big[b^2 - 4acbig] = (-19,6)^2 - 4times 94,08 = 7,84 = 2,8^2;\a_{1,2} = left[dfrac{-bpmsqrt{D}}{2a}right] = dfrac{19,6pm2,8}{2} = 9,8pm1,4.\left[begin{array}{c}a_1 = 9,8 - 1,4 = 8,4,\a_2 = 9,8 + 1,4 = 11,2.end{array}right$

Подставляем полученные значения во второе уравнения.

$left[begin{array}{c}8,4 + b_1 = 19,6,\11,2 + b_2 = 19,6;end{array}rightLongleftrightarrow left[begin{array}{c}b_1 = 19,6 - 8,4,\b_2 = 19,6 - 11,2;end{array}rightLongleftrightarrow left[begin{array}{c}b_1 = 11,2,\b_2 = 8,4.end{array}right$

На выходе имеем два решения:

1. a = 8,4 см; b = 11,2 см.
2. a = 11,2 см; b = 8,4 см.

Ответ: 8,4 см и 11,2 см; 11,2 см и 8,4 см.