Question

найдите все целые k,n и простые p, для которых p^k+16=n²

Answer 1

Ответ:

$p=3,; k=2, ; n=5$

Пошаговое объяснение:

Перенесём 16 в правую часть уравнения. Получим $p^{k}=(n-4)(n+4)$; Делителями числа $p^{k}$ являются числа $p^{i}, ; i=0,;1,;...;k$, так как p - простое число;

Пусть тогда $n-4=p^{alpha },; n+4=p^{beta}$;

Заметим, что $(n+4)-(n-4)=8=p^{alpha}(p^{beta - alpha} -1)$; Из равенства следует, что p нечетно. Тогда $p^{alpha}=1 Leftrightarrow alpha = 0$; Отсюда $p^{beta} = 9 Rightarrow p=3,; beta =2$; Поскольку $k=alpha +beta$, то k=2; p=3; n=5

Answer 2

не поняла со слов заметим,что...

Answer 3

я просто нашел разность найденных множителей, т.е n+4 и n-4

Answer 4

почему это так — просто помогает решить задачу

Answer 5

еще забыл рассмотреть случай, когда p^{b-a}=1, а p^{a}=8. Тогда p четно и равно 2, a=4, b =3, откуда p=2, k=7, n=12