Question

(Решите дифференциальные уравнения с разделяющими перемеными и найти их частные

(x×y^2+y^2)dx +(x^2-x^2×y)dy=0 y=1, x=1

Answer 1

$(xy^2 + y^2)dx + (x^2 - x^2y)dy = 0\(xy^2 + y^2)dx = (x^2y - x^2)dy\y^2(x + 1)dx = x^2(y - 1)dy, text{ Let }x, y neq 0\frac{x + 1}{x^2}dx = frac{y - 1}{y^2}dy\(frac{1}{x} + frac{1}{x^2})dx = (frac{1}{y} - frac{1}{y^2})dy Rightarrow int {(frac{1}{x} + frac{1}{x^2})} , dx = int {(frac{1}{y} - frac{1}{y^2})} , dy\ln(x) - frac{1}{x} + c_1 = ln(y) + frac{1}{y}$

$ln(ye^{1/y}) = ln(xe^{-1/x + c_1})\ye^{1/y} = xe^{c_1 - 1/x}\-frac{1}{y} e^{-1/y} = -frac{e^{1/x + c_2}}{x}, quad (c_1 = -c_2)\text{t = W(x) --- Lambert function --- solution of }te^t = x\-frac{1}{y} = W(-frac{e^{1/x + c_2}}{x}) Rightarrow y = -displaystyle{1 over{W(-frac{e^{1/x + c_2}}{x})}}$

Найдём частное решение:

$1 = -displaystyle{1 over{W(-frac{e^{1/1 + c_2}}{1})}} Rightarrow W(-frac{e^{1/1 + c_2}}{1}) = -1 Rightarrow -e^{-1} = -e^{1 + c_2} Rightarrow c_2 = -2$

Откуда имеем: $y = -displaystyle{1 over{W(-frac{e^{1/x - 2}}{x})}}$