Question

1.)y”-2y’+3y=0
y(0)=1
y’(0)=3
2.)y”’+y”=0
y(0)=3
y’(0)=2
y”(0)=1

Answer 1

$1)quad y''-2y'+3y=0\\k^2-2k+3=0; ; ,; ; D/4=1-3=-2; ,; ; k_{1,2}=1pm isqrt2\\y_{obshee}=e^{x}cdot (C_1cdot cossqrt2x+C_2cdot sinsqrt2x)\\y(0)=1; ,; ; 1=e^0cdot (C_1cdot 1+C_2cdot 0); ,; ; C_1=1\\y'=e^{x}cdot (C_1cossqrt2x+C_2sinsqrt2x)+e^{x}cdot (-sqrt2C_1cdot sinsqrt2x+sqrt2C_2cdot cossqrt2x)=\\=e^{x}cdot Big ((C_1+sqrt2C_2)cdot cossqrt2x+(C_2-sqrt2C_1)cdot sinsqrt2xBig )\\y'(0)=3; ,; ; 3=e^0cdot (C_1+sqrt2C_2); ; ,; ; 3=1+sqrt2C_2; ; ,; ; C_2=sqrt2$

$y_{chastn.}=e^{x}cdot (cossqrt2x+sqrt2cdot sinsqrt2x)\\2); ; y'''+y''=0\\k^3+k^2=0; ,; ; k^2cdot (k+1)=0; ,; ; k_1=k_2=0; ,; k_3=-1\\y_{obshee}=e^{0cdot x}(C_1+C_2x)+C_3e^{-x}=C_1+C_2x+C_3e^{-x}\\y(0)=3; ,; ; 3=C_1+C_3\\y'(x)=C_2-C_3e^{-x}; ; ,; ; y'(0)=2; ,; ; 2=C_2-C_3\\y''(x)=C_3e^{-x}; ; ,; ; y''(0)=1; ,; ; 1=C_3\\2=C_2-1; ; to ; ; C_2=3\\3=C_1+1; ; to ; ; C_1=2\\y_{chastn.}=2+3x+e^{-x}$