Question

Знайти площу криволінійнонї трапеції обмеженої лініями
y=4-x²; y=(x-2)²; y=0

Answer 1

Найдем точки пересечения парабол:

$4-x^{2}=(x-2)^{2}\4-x^{2}=x^{2}-4x+4\x^{2}-2x=0\x_{1}=0\x_{2}=2$

Значит фигура D ограничена справа прямой x = 2, а слева x = 0

Сверху она ограничена параболой $4-x^{2}$, а снизу параболой $(x-2)^{2}$

Т.е. нам нужно найти интеграл:

$intlimits^2_0{},dxintlimits^{4-x^{2}}_{(x-2)^{2}}{},dy=intlimits^2_0{(4-x^{2}-(x-2)^{2})},dx=intlimits^2_0{(-2x^{2}+4x)},dx=(-frac{2}{3}x^{3}+2x^{2})left{{{2}atop {0}} right.=-frac{2}{3}*2^{3}+2*2^{2}=8-frac{16}{3}=frac{8}{3}$