Question

СРОЧНО!!! ВНИМАНИЕ!!! МАТЕМАТИКАМ!!!
$frac{x { }^{4} - 10a {}^{2} x {}^{2} + 9a {}^{4} }{2x {}^{2} - 3x - 2} = 0$
вычислить по каких действительных значениях а уравнение имеет 4 корня
ПЛИЗ ПОМОГИТЕ

Answer 1

$sf dfrac{x^4-10a^2x^2+9a^4}{2x^2-3x-2}=0$

Раскладываем числитель и знаменатель на множители

$sf 2x^2-3x-2=2x^2-4x+x-2=2x(x-2)+(x-2)=(2x+1)(x-2)= \ =2left(x+dfrac{1}{2}right)(x-2) \ \ \ x^4-10a^2x^2+9a^4=(x^4-10a^2x^2+25a^4)-16a^4=(x^2-5a^2)^2-16a^4= \ =(x^2-5a^2-4a^2)(x^2-5a^2+4a^2)=(x^2-9a^2)(x^2-a^2)=(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)$

В итоге исходное уравнение запишется как

$sf dfrac{(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)}{left(x+dfrac{1}{2}right)(x-2)end{array}right] }=0$

В числителе имеем 4 корня, но в связи с ограничениями по ОДЗ (x≠-1/2; x≠2), требуется исключить следующие случаи

$sf -3aneqdfrac{1}{2} Rightarrow aneq-dfrac{1}{6} \ \ 3aneqdfrac{1}{2} Rightarrow aneqdfrac{1}{6} \ \ aneqdfrac{1}{2} \ \ -aneqdfrac{1}{2} Rightarrow aneq-dfrac{1}{2} \ \ -3a neq -2 Rightarrow aneqdfrac{2}{3} \ \ 3aneq-2 Rightarrow a neq -dfrac{2}{3} \ \ aneq-2 \ \ -aneq-2 Rightarrow aneq 2$

А еще исключим возможность повторения корней

$sf a neq 0$

Ответ: $sf a in left(- infty; -2right) cup left(-2; -dfrac{2}{3}right) cup left(-dfrac{2}{3}; -dfrac{1}{2}right) cup left(-dfrac{1}{2}; -dfrac{1}{6}right) cup left(-dfrac{1}{6}; 0right)cup left(0; dfrac{1}{6}right) cup\cupleft(dfrac{1}{6}; dfrac{1}{2}right)cupleft(dfrac{1}{2}; dfrac{2}{3}right)cupleft(dfrac{2}{3}; 2right)cup(2; + infty)$