Question

Помогите решить интеграл

Answer 1

$int frac{dx}{sin^2xcdot cosx}=int frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2xcdot cosx}, dx=int frac{sin^2x, dx}{ysin^2xcdot cosx}+int frac{cos^2x, dx}{sin^2xcdot cosx}=\\=int frac{dx}{cosx}+int frac{cosx, dx}{sin^2x}=ln|tg(frac{x}{2}+frac{pi}{4})|+int frac{d(sinx)}{sin^2x}=ln|tg(frac{x}{2}+frac{pi}{4})|-frac{1}{sinx}+C; ;\\\star ; ; int frac{dx}{cosx}=int frac{cosx, dx}{cos^2x}=intfrac{cosx, dx}{1-sin^2x}=int frac{d(sinx)}{1-sin^2x}=Big [; int frac{dt}{1-t^2}=frac{1}{2}cdot ln|frac{1+t}{1-t}|+C; Big ]=$

$=frac{1}{2}cdot lnBig |frac{1+sinx}{1-sinx}Big |+C=frac{1}{2}cdot lnBig |frac{1+cos(frac{pi}{4}-frac{x}{2})}{1-cos(frac{pi}{4}-frac{x}{2})}Big |+C=\\=Big [; 1+cosalpha =2cos^2frac{alpha }{2}; ,; 1-cosalpha =2sin^2frac{alpha }{2}; Big ]=\\=frac{1}{2}cdot lnBig |frac{2cos^2(frac{pi}{4}-frac{x}{2})}{2sin^2(frac{pi}{4}-frac{x}{2})}Big |+C=lnBig |ctg(frac{pi}{4}-frac{x}{2})Big |+C=Big [; ctgalpha =tg(frac{pi}{2}-alpha ); Big ]=\\=lnBig |tg(frac{pi}{2}-(frac{pi}{4}-frac{x}{2}))Big |+C=lnBig |tg(frac{pi}{4}+frac{x}{2})Big |+C; .$

P.S.  Желательно запомнить, кроме таблицы интегралов, ещё два часто встречающихся интеграла:

$int frac{dx}{sinx}=lnBig |tgfrac{x}{2}Big |+C; ;; ; int frac{dx}{cosx}=lnBig |tg(frac{x}{2}+frac{pi}{4})Big |+C; .$