Ответы
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
(log_{4sqrt{2}}{8}=x)
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
(log_{a}{c}=b) (Leftrightarrow) (a^{b}=c)
((4sqrt{2})^{x}=8)
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
(4=2^{2}) (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}}) (8=2^{3})
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})
Основания равны, переходим к равенству показателей
(frac{5x}{2})(=3)
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})
(x=1,2)
Получившийся корень и есть значение логарифма
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714.....)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
(4^{5x-4}=10)
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма:
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
(log_{4}{10}=5x-4)
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
(5x-4=log_{4}{10})
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо.
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
(5x=log_{4}{10}+4)
Поделим уравнение на 5
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
По свойствам логарифма
самый простой ㏒₂2=1
㏒₂4=2 так как 2²=4
ответ логарифма будет степень, в которую нужно возвести основание логарифма чтобы получилось логарифмическое выражение
Все свойства выходят из формулы перехода
logₐb=logₓ b/logₓ a
a^logₐb=b