Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Определение. Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку
x
0
. Дадим аргументу приращение
Δ
x
такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции
Δ
y
(при переходе от точки
x
0
к точке
x
0
+
Δ
x
) и составим отношение
Δ
y
Δ
x
. Если существует предел этого отношения при
Δ
x
→
0
, то указанный предел называют производной функции
y
=
f
(
x
)
в точке
x
0
и обозначают
f
′
(
x
0
)
.
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
f
′
(
x
0
)
Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
k
=
f
′
(
a
)
Поскольку
k
=
t
g
(
a
)
, то верно равенство
f
′
(
a
)
=
t
g
(
a
)
.
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция
y
=
f
(
x
)
имеет производную в конкретной точке
x
:
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
f
′
(
x
)
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство
Δ
y
Δ
x
≈
f
′
(
x
)
, т.е.
Δ
y
≈
f
′
(
x
)
⋅
Δ
x
. Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции
y
=
x
2
справедливо приближенное равенство
Δ
y
≈
2
x
⋅
Δ
x
. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение
x
, найти
f
(
x
)
2. Дать аргументу
x
приращение
Δ
x
, перейти в новую точку
x
+
Δ
x
, найти
f
(
x
+
Δ
x
)
3. Найти приращение функции:
Δ
y
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
4. Составить отношение
Δ
y
Δ
x
5. Вычислить
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство
Δ
y
≈
f
′
(
x
)
⋅
Δ
x
. Если в этом равенстве
Δ
x
устремить к нулю, то и
Δ
y
будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция
y
=
3
√
x
непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и
f
′
(
0
)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: