Question

Дано тождество $dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = dfrac{a}{x+1} + dfrac{b}{x+2}.$ Определите значения параметров $a$ и $b.$

Answer 1

Под общий знаменатель

a(x+2)+b(x+1) =x(a+b)+2a+b=1

a+b=0

2a+b=1

a=1, b=-1

Answer 2

$dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = dfrac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)}\\1 = a(x+2) + b(x+1)\1 = ax + 2a + bx + b\1 = x(a+b) + 2a + b$

Чтобы в уравнении из двух частей, которые складываются, получить 1, можно одно из них считать как 0, а другое, — как 1.

$left { {bigg{x(a+b)=0} atop bigg{2a + b=1} } right. left { {bigg{a=-b \ } atop bigg{-2b + b = 1; -b = 1; b=-1}} right. \a = -(-1) = 1$

Ответ: $a = 1; b = -1.$