Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел, используя правило Лопиталя.

Answer 1

$lim_{x to frac{pi }{4}} frac{sqrt{tgx}-1}{2sin^2x-1} = lim_{x to frac{pi }{4}} frac{sqrt{tgx}-1}{-cos2x} = lim_{x to frac{pi }{4}} frac{(sqrt{tgx}-1)'}{-(cos2x)'} = \lim_{x to frac{pi }{4}} frac{frac{1}{2cos^2xsqrt{tgx}}}{2sin2x} =lim_{x to frac{pi }{4}} frac{1}{4sin2xcos^2xsqrt{tgx}} =frac{1}{4*1*0,5*1}=frac{1}{2}$

$lim_{x to infty} (x+2^x)^{frac{1}{x}}= lim_{x to infty} e^{ln(x+2^x)^{frac{1}{x}}}=lim_{x to infty} e^{frac{ln(x+2^x)}{x}}}=e^{lim_{x to infty} frac{ln(x+2^x)}{x}}}=e^{lim_{x to infty} frac{(ln(x+2^x))'}{x'}}}=e^{lim_{x to infty} frac{frac{1+ln2*2^x}{x+2^x}}{1}}}=\e^{lim_{x to infty} {frac{(1+ln2*2^x)'}{(x+2^x)'}}}=e^{lim_{x to infty} {frac{(ln^22*2^x)'}{(1+ln2*2^x)'}}}=e^{lim_{x to infty} {frac{ln^32*2^x}{ln^22*2^x}}}=e^{ln2}=2$

Answer 2

извините, пожалуйста, а почему во втором примере появилась экспонента?

Answer 3

Чтоб привести выражение к стандартному виду для применения метода Лопиталя