Question

Докажите, что куб целого числа при делении на 9 дает в остатке 0,1 или 8

Answer 1

$x equiv {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } mod 9$

Значит, $x^3$ даёт кубы этих остатков: ${ 0, 1, 8}$.

Действительно,

$0^3,mathrm{mod},9 = 0 ,mathrm{mod},9 = 0\1^3 ,mathrm{mod},9 = 1 ,mathrm{mod},9 = 1\2^3 ,mathrm{mod},9 = 8 ,mathrm{mod},9 = 8\3^3 ,mathrm{mod},9 = 27 ,mathrm{mod},9 = 0\4^3 ,mathrm{mod},9 = 64 ,mathrm{mod},9 = 1\5^3 ,mathrm{mod},9 = 125 ,mathrm{mod},9 = 8\6^3 ,mathrm{mod},9 = 216 ,mathrm{mod},9 = 0\7^3 ,mathrm{mod},9 = 343 ,mathrm{mod},9 = 1\8^3 ,mathrm{mod},9 = 512 ,mathrm{mod},9 = 8$

Для отрицательных чисел можно заметить, что $xmod a = b Rightarrow (-x) mod a= (a - b)mod a$. Тогда остатки будут аналогичные.