Question

Вычислите следующую сумму
1^21*3+2^23*5+...+360000(2*600-1)(2*600+1)
В ответ запишите целую часть полученного числа

Answer 1

Вычислить сумму

$dfrac{1^2}{1cdot 3}+dfrac{2^2}{3cdot 5}+...+dfrac{600^2}{(2cdot 600-1)(2cdot 600+1)}$

Данную сумму можно представить в виде суммы 600 элементов числового ряда, члены которого можно записать формулой

$a_n=dfrac{n^2}{(2cdot n-1)(2cdot n+1)},~~n in N, ~nleq 600$

Преобразуем формулу следующим образом

$a_n=dfrac{n^2}{(2cdot n-1)(2cdot n+1)}=dfrac{n^2}{4n^2-1}=\\\=0,25+dfrac{0,25}{4n^2-1}=0,25+0,25cdot dfrac 1{(2n-1)(2n+1)}=\\\=0,25+0,25cdot Big(dfrac{0,5}{2n-1}-dfrac{0,5}{2n+1} Big)=\\\=0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2n-1}-dfrac 1{2n+1} Big)$

Тогда представленную в условии сумму можно переписать так

$dfrac{1^2}{1cdot 3}+dfrac{2^2}{3cdot 5}+...+dfrac{600^2}{(2cdot 600-1)(2cdot 600+1)}=\\=0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 1-1}-dfrac 1{2cdot 1+1} Big)+\\+0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 2-1}-dfrac 1{2cdot 2+1} Big)+\\+0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 3-1}-dfrac 1{2cdot 3+1} Big)+...\...$

$+0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 598-1}-dfrac 1{2cdot 598+1} Big)+\\+0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 599-1}-dfrac 1{2cdot 599+1} Big)+\\+0,25+0,125cdot Big(dfrac 1{2cdot 600-1}-dfrac 1{2cdot 600+1} Big)=\\\=0,25cdot 600 +0,125cdot Big(dfrac 11-dfrac 13 +dfrac 13-dfrac 15+dfrac 15-dfrac 17 + ...\...\+dfrac 1{1195}-dfrac 1{1197}+dfrac 1{1197}-dfrac 1{1199}+dfrac 1{1199}-dfrac 1{1201}Big)=$

$=150 +0,125cdot Big(1-dfrac 1{1201}Big)=150 +dfrac 18 cdot dfrac {1200}{1201}=\\\boxed{boldsymbol{=150dfrac{150}{1201}}}$

Ответ:  150