Question

Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием. Дайте пожалуйста развернутый ответ!

Answer 1

$1); ; int (2x^7-5sqrt[4]{x^3}+7), dx=2cdot frac{x^8}{8}-5cdot frac{4x^{frac{7}{4}}}{7}+7x+C=\\=frac{x^8}{4}-frac{20}{7}cdot x^{frac{7}{4}}+7x+c; ;\\(frac{x^8}{4}-frac{20}{7}cdot x^{frac{7}{4}}+7x+C)'=frac{1}{4}cdot 8x^7-frac{20}{7}cdot frac{7}{4}x^{frac{3}{4}}+7+0=\\=2x^7-5x^{frac{3}{4}}+7$

$2); ; int xcdot e^{3x^2+1}, dx=[; t=3x^2+1; ,; ; dt=6x, dx, ]=frac{1}{6}int e^{t}, dt=\\=frac{1}{6}cdot e^{t}+C=frac{1}{6}cdot e^{3x^2+1}+C; ;\\(frac{1}{6}cdot e^{3x^2+1}+C)'=frac{1}{6}cdot e^{3x^2+1}cdot 6x+0=xcdot e^{3x^2+1}$

$3); ; int x^3cdot lnx, dx=[, u=lnx,; du=frac{dx}{x},; dv=x^3, dx; ,; v=frac{x^4}{4}, ]=\\=frac{x^4}{4}cdot lnx-frac{1}{4}int x^3, dx=frac{x^4}{4}cdot lnx-frac{1}{4}cdot frac{x^4}{4}+C; ;\\(frac{x^4}{4}cdot lnx-frac{1}{4cdot 4}cdot x^4+C)'=frac{1}{4}cdot 4x^3cdot lnx+frac{x^4}{4}cdot frac{1}{x}-frac{1}{4cdot 4}cdot 4x^3+0=\\=x^3cdot lnx+frac{x^3}{4}-frac{x^3}{4}=x^3cdot lnx$