Question

Два одинаковых маленьких бруска массами m = 0,6 кг каждый легкой пружиной и положили на наклонную образующую угол α = 30 ° с горизонтом, так, как показано на рисунке. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен μ = 0,8 . При какой максимальной деформации ∆x пружины эта система может находиться в покое? Считайте, что g = 10 м/с2. соединили друг жёсткостью с другом k = 80 Н/м плоскость,

Answer 1

Дано:

$m_{1} = m_{2} = m = 0,6$ кг

$alpha = 30^{circ}$

$mu = 0,8$

$g = 10$ м/с²

$k = 80$ Н/м

============================

Найти: $Delta x - ?$

============================

Решение. Рассмотрим один из двух маленьких брусков, так как они одинаковые. На брусок действуют три силы: сила тяжести $mvec{g}$, сила трения $vec{F}_{_{{text{TP}}}}$ и сила упругости $vec{F}_{_{text{Y}Pi {text{P}}}}}$ (см. рисунок).

Свяжем систему координат с бруском на поверхности Земли, ось $y$ направим перпендикулярно поверхности плоскости, ось $x$ — вдоль поверхности (при таком выборе осей только одна сила $(mvec{g})$ не лежит на осях координат).

Если два бруска покоятся, то сложим геометрически эти три силы и приравняем их к нулю:

$vec{F}_{_{{text{TP}}}} + mvec{g} + vec{F}_{_{text{Y}Pi {text{P}}}}} = 0$

Спроецируем уравнение на оси координат (сила $mvec{g}$ не лежит на оси координат, поэтому для нахождения её проекций опустим из конца вектора $mvec{g}$ перпендикуляры на оси $x$ и $y$: $mg_{x} = -mg sin alpha, mg_{y} = -mg cos alpha$) и запишем выражения для силы трения $vec{F}_{_{{text{TP}}}}$:

$begin{equation*} begin{cases} x: F_{_{{text{TP}}}} - mg sin alpha - F_{_{text{Y}Pi {text{P}}}} = 0, \y: N - mg cos alpha = 0, \ F_{_{{text{TP}}}} = mu N. end{cases}end{equation*}$

Распишем все силы, действующие на брусок:

$F_{_{{text{TP}}}} = mu mg cos alpha\F_{_{text{Y}Pi {text{P}}}} = kDelta x$

Подставим их в уравнение:

$F_{_{{text{TP}}}} = mg sin alpha + F_{_{text{Y}Pi {text{P}}}}\mu mg cos alpha = mg sin alpha + kDelta x\mg(mu cos alpha - sin alpha) = kDelta x\boxed{Delta x = dfrac{mg(mu cos alpha - sin alpha)}{k}}$

Определим значение искомой величины:

$Delta x = dfrac{0,6 cdotp 10 bigg(0,8 cdotp dfrac{sqrt{3}}{2} - dfrac{1}{2} bigg)}{80} approx 0,015$ м

============================

Ответ: $Delta x approx 0,015$ м