Question

Вычислить пределы функции

Answer 1

Согласно второму замечательному пределу

$lim_{x to infty} left(1+frac{1}{x} right)^{x}=e$

получим

$lim_{x to infty} left(1+frac{5}{7x} right)^{2x}= lim_{x to infty} left(left(1+frac{1}{frac{7x}{5}} right)^{frac{7x}{5}}right)^frac{10}{7}=e^frac{10}{7}$

Если х стремится к нулю, то полученную неопределенность, используя экспоненциальное представление, раскрываем с помощью правила Лопиталя:

$lim_{x to 0} left(1+frac{5}{7x} right)^{2x}={infty^0}=lim_{x to 0} e^{2xlnleft(1+frac{5}{7x} right)}=\=lim_{x to 0} e^{frac{lnleft(1+frac{5}{7x} right)}{frac{1}{2x}}}=e^lim_{x to 0} frac{lnleft(1+frac{5}{7x} right)}{frac{1}{2x}}}=e^lim_{x to 0} frac{frac{7x}{7x+5}cdotleft(-frac{5}{7x^2}right)}{-frac{1}{2x^2}}}=e^0=1.$