Question

√2cosx-sinx=√3
Объясните полное решение

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

√2cosx-sinx=√3;

Подстановка: cosx = $frac{1-tg^2frac{x}{2} }{1+tg^2frac{x}{2}}$;

sinx = $frac{2tgfrac{x}{2} }{1+tg^2frac{x}{2}}$

$sqrt{2} frac{1-tg^2frac{x}{2} }{1+tg^2frac{x}{2}}-frac{2tgfrac{x}{2} }{1+tg^2frac{x}{2}}=sqrt{3};\ sqrt{2}(1-tg^2frac{x}{2} })-2tgfrac{x}{2} =sqrt{3}(1+tg^2frac{x}{2});\sqrt{2}-sqrt{2}tg^2frac{x}{2}-2tgfrac{x}{2} =sqrt{3}+sqrt{3}tg^2frac{x}{2};\sqrt{3}tg^2frac{x}{2}+sqrt{2}tg^2frac{x}{2}+2tgfrac{x}{2}+sqrt{3}-sqrt{2}=0;\(sqrt{3}+sqrt{2})tg^2frac{x}{2}+2tgfrac{x}{2}+sqrt{3}-sqrt{2}=0;$

Замена:

$tgfrac{x}{2}=t$

$(sqrt{3}+sqrt{2})t^2+2t+sqrt{3}-sqrt{2}=0;$

$D=4-4(sqrt{3}+sqrt{2})(sqrt{3}-sqrt{2})=0;\t_1=t_2=frac{-2}{2(sqrt{3}+sqrt{2})}=frac{-1}{sqrt{3}+sqrt{2}}=sqrt{2}-sqrt{3}$

Возвращаемся к замене:

$tgfrac{x}{2}=sqrt{2}-sqrt{3}$

$tgfrac{x}{2}=sqrt{2}-sqrt{3};\frac{x}{2}=arctg(sqrt{2}-sqrt{3})+pi n\x=2arctg(sqrt{2}-sqrt{3})+2pi n$