Question

Около трапеции ABCD (BC||AD) описана окружность, и в ту же трапецию вписана другая окружность, BC : AD = 1 : 5, площадь трапеции 3√5/5 (дробь). Найти высоту трапеции.

Answer 1

Если вокруг трапеции описана окружность, то она равнобедренная:

AB = CD

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

AD + BC = AB + CD = 2*AB

Из условия AD = 5*BC, подставим предыдущее равенство:

5*BC + BC = 2*AB

AB = 3*BC

$AH=frac{AD-BC}{2}=frac{5*BC-BC}{2}=2*BC$

Из прямоугольного ΔABH, по теореме Пифагора найдем высоту трапеции BH:

$BH=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{(3*BC)^2-(2*BC)^2}=BCsqrt{5}$

Подставим в формулу площади трапеции:

$S=frac{AD+BC}{2}*BH=frac{5*BC+BC}{2}*BCsqrt{5}=3sqrt{5}*BC^2\BC^2=frac{S}{3sqrt{5}}=frac{frac{3sqrt{5}}{5}}{3sqrt{5}}=frac{1}{5}\BC=frac{1}{sqrt{5}}\BH=BC*sqrt{5}=1$