Question

Здравствуйте помогите решить интеграл - $intlimits {frac{sqrt{x} }{sqrt{x} +1} } , dx$ .


Я знаю, что тут надо принять $t^{2} =x,$ и $sqrt{x} =t$ . В итоге получится

$intlimits {frac{t}{t+1} } , dt$. А как решать это дальше?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

√x=t  ;   x=t² ;  (x)'=(t²)' ;  dx=2tdt

∫ (t2t/(t+1))dt=∫2(t²/(t+1))dt  для упрощения дроби к числителю прибавим и отнимем t+1

2∫((t²+t-t-1+1)/(t+1))dt=2∫(t(t+1)-(t+1)+1)/(t+1))dt=2∫(t-1+(1/(t+1))dt=2∫tdt-2∫dt+2(1/(t+1))dt=2(t²/2)-2t-2∫(1/(t+1)d(t+1)=t²-2t+2LnIt+1I+c=x-2√x+2ln(√x+1)+c

Answer 2

$int frac{sqrt{x}, dx}{sqrt{x}+1}=[; t=sqrt{x}; ,; x=t^2; ,; dx=2t, dt; ]=int frac{tcdot 2t, dt}{t+1}=2int frac{t^2, dt}{t+1}=\\=2int (t-1+frac{1}{t+1})dt=2cdot (frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=\\=x-2sqrt{x}+2, ln|sqrt{x}+1|+C$