Question

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн рублей.

Answer 1

Пусть  размер кредита равен А млн. рублей.

В середине 1-го года долг возрастёт на 25%, то есть увеличиться на  $frac{25}{100}cdot A=0,25A$  млн. рублей , и станет равным (А+0,25А)=1,25А млн. руб. (Можно сказать, что сумма долга увеличилась в 1,25 раз и становится равной  1,25А млн.руб.)

В конце 1-го года заёмщик выплачивает только % по кредиту, то есть выплачивает 0,25А млн. руб. Аналогично, в конце  2-го года заёмщик выплачивает 0,25А млн. руб. В сумме за два года погашается сумма в 0,25А+0,25А=0,5А млн.руб.

В середине 3-го года сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, то есть становится равной 1,25А, а в конце этого года выплачивается некоторая сумма, равная Х млн.руб. После выплаты заёмщиком этих Х млн.руб. в конце 3-го года останется долг, равный  (1,25А-Х) млн.руб.

В середине 4-го года долг опять увеличиться в 1,25 ( от оставшейся суммы долга) и станет равным 1,25*(1,25А-Х). В конце 4-го года заёмщик должен выплатить Х млн. руб., т.к. он по условию задачи должен в конце 3-го и 4-го годов выплатить равные суммы.И так как это будет последний платёж, то заёмщик уже погасит  долг до 0 . Отсюда получаем уравнение:

$1,25cdot (1,25A-X)-X=0\\1,25^2A-1,25X-X=0; ; to ; ; ; 1,25^2A=2,25X\\X=frac{1,25^2A}{2,25}$

Теперь найдём общую сумму выплат:

$0,5A+2X=0,5A+2cdot frac{1,25^2A}{2,25}=(frac{1}{2}+frac{3,125}{2,25})cdot A=frac{17}{9}cdot A$

По условию общая сумма выплат превышает 5 млн.руб., значит

$frac{17}{9}cdot A>5; ; Rightarrow ; ; A>frac{5cdot 9}{17}; ,; ; A>frac{45}{17}; ,; ; A>2frac{11}{17}$

Наименьшее целое число, при котором выполняется последнее неравенство - это число 3. Значит, наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 5 млн.руб. , равна 3 млн.руб.