Question

Решить дифференциальное уравнение
y'sin^2(x)=ylny

Answer 1

Відповідь:

(sinx)•y' = y• ln y  

Разделяющиеся переменные.  

dy/(y•lny)=dx/sinx => ∫d(lny)/lny=∫dx/sinx  

ln|lny|=∫dx/(2sin(x/2)•cos(x/2))=∫d(x/2)/(tg(x/2)•cos²(x/2))=  

=∫d(tg(x/2))/tg(x/2)=ln|tg(x/2)+C.  

lny=C•tg(x/2) => y=e^(C•tg(x/2)).

Покрокове пояснення:

Answer 2

$y'cdot sin^2x=ycdot lny\\frac{dy}{dx}=frac{ycdot lny}{sin^2x}\\int frac{dy}{ycdot lny}=int frac{dx}{sin^2x}\\int frac{d(lny)}{lny}=int frac{dx}{sin^2x}\\ln|lny|=-ctgx+C$