Question

Найдите значение $frac{S}{2^{50} }$

Если известно, что

$S=Climits^{0}_{112}-Climits^{2}_{112}+Climits^{4}_{112}-Climits^{6}_{112}+...+Climits^{108}_{112}-Climits^{110}_{112}+Climits^{112}_{112}$

Answer 1

$S=C^0_{112}i^0+C^2_{112}i^2+C^4_{112}i^4+...+C^{112}_{112}i^{112}=displaystyle underbrace{sum^{n=112}_{k=0}C^k_n1^{n-k}i^k}_{Binom}=(1+i)^{112}$

Рассмотрим $z=1+i$ и представим это в тригонометрической форме, модуль комплексного числа: $|z|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt{2}$

$z=sqrt{2}(frac{1}{sqrt{2}}+ifrac{1}{sqrt{2}})$

Так как sin α > 0 и cos α> 0, то α∈I четверти и α=π/4

$z=sqrt{2}(frac{1}{sqrt{2}}+ifrac{1}{sqrt{2}})=sqrt{2}(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$

По формуле Муавра: $(1+i)^{112}=(sqrt{2})^{112}left(cosfrac{112pi}{4}+isinfrac{112pi}{4}right)=2^{56}left(cos28pi+isin28piright)=2^{56}$

Окончательно получаем $dfrac{S}{2^{50}}=dfrac{2^{56}}{2^{50}}=2^6=64$

Answer 2

k=1 тут C(1;112) * i, а вот k=111 слагаемое C(111;112)i^111 = C(1;1112) * (-i)

Answer 3

Просто воспользовались равенство C(n;k) = C(n-k;n)

Answer 4

Да, да, согласен. Спасибо!

Answer 5

не совсем так , у числа i и i^3 разные коэффициенты, поэтому взаимно они уничтожаться не будут , но из формулы Муавра следует, что (i +1 )^112- действительно , а значит сумма всех мнимых чисел в биноме равна нулю , а они как раз стоят на нечетных местах , значит их можно выбросить и сумма от этого не изменится

Answer 6

Я уже описал после i и i^3 - неверно высказался