Question

Пожалуйста помогите найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y"+6*y'+5*y=x*e^(-x)

Answer 1

Характеристическое уравнение однородного диф. уравнения имеет вид:

$k^{2} +6k+5=0$ Корни этого уравнения: k=-5 и k=-1, поэтому общее решение однородного уравнения y=$C₁*e^{-5x} +C₂*e^{-x}$

Найдем частное решение неоднородного уравнения в виде

u=$x*(Ax+B)*e^{-x}$

производная u= $(2Ax+B)*e^{-x}-(Ax^{2} +Bx) *e^{-x}$

вторая производная u=$2Ae^{-x} -(2Ax+B)*e^{-x} +(Ax^{2} +Bx)*e^{-x} -(2Ax+B)e^{-x} *$

Подставляя в исходное уравнение производные имеем систему уравнений: УРАВНЕНИЕ ПРИ СТЕПЕНИ $x^{2}$ имеет вид 5А-6А+А=0, 0А=0, верно при любом значении А.

$left { {{5B+12A-6B-2A-2A+B=1} atop {6B+2A-B-B=0}} right.$

Имеем: $left { {{8*A=1} atop {4B+2A=0}} right.$

$left { {{A=frac{1}{8} } atop {B=-frac{1}{2}A}=-frac{1}{16} } right.$

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

$y=C*e^{-5x} +C*e^{-x} +x*(frac{1}{8}x-frac{1}{16}  )*e^{-x}$