Question

Найти матрицу обратную данной и сделать проверку с помощью единичной матрицы А=$left[begin{array}{ccc}2&3&-1\1&-1&3\3&5&1end{array}right]$, Подробно пожалуйста!

Answer 1

Обратную матрицу найдем по формуле:

$A^{-1}=frac{1}{|A|}*tilde{A^{T}}$,

где |A| - определитель матрицы, а $tilde{A^{T}}$ - транспонированная матрица алгебраических дополнений

$|A|=left[begin{array}{ccc}2&3&-1\1&-1&3\3&5&1end{array}right]=-2+27-5-3-30-3=-16$

Т.к. определитель матрицы не равен 0, то обратная матрица существует.

Находим матрицу миноров. Для каждого элемента матрицы соответствующий ему минор вычисляется по определителю матрицы 2х2, которая получается вычеркиванием соответствующей строки и столбца для этого элемента:

$m_{11}=left[begin{array}{cc}-1&3\5&1end{array}right]=-1-15=-16\m_{12}=left[begin{array}{cc}1&3\3&1end{array}right]=1-9=-8\m_{13}=left[begin{array}{cc}1&-1\3&5end{array}right]=5+3=8$

$m_{21}=left[begin{array}{cc}3&-1\5&1end{array}right]=3+5=8\m_{22}=left[begin{array}{cc}2&-1\3&1end{array}right]=2+3=5\m_{23}=left[begin{array}{cc}2&3\3&5end{array}right]=10-9=1$

$m_{31}=left[begin{array}{cc}3&-1\-1&3end{array}right]=9-1=8\m_{32}=left[begin{array}{cc}2&-1\1&3end{array}right]=6+1=7\m_{33}=left[begin{array}{cc}2&3\1&-1end{array}right]=-2-3=-5$

Получили следующую матрицу миноров:

$M=left[begin{array}{ccc}-16&-8&8\8&5&1\8&7&-5end{array}right]$

Из матрицы миноров получим матрицу алгебраических дополнений заменой знака на противоположный у элементов матрицы миноров, у которых сумма номеров строк и столбца нечетна:

$tilde{A}=left[begin{array}{ccc}-16&8&8\-8&5&-1\8&-7&-5end{array}right]$

Следующим шагом получаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений:

$tilde{A^T}=left[begin{array}{ccc}-16&-8&8\8&5&-7\8&-1&-5end{array}right]$

Обратная матрица:

$A^{-1}=-frac{1}{16}left[begin{array}{ccc}-16&-8&8\8&5&-7\8&-1&-5end{array}right]$

Проверим, что произведение исходной и обратной матрицы равно единичной:

$A*A^{-1}=-frac{1}{16}left[begin{array}{ccc}2&3&-1\1&-1&3\3&5&1end{array}right]left[begin{array}{ccc}-16&-8&8\8&5&-7\8&-1&-5end{array}right]=-frac{1}{16}*left[begin{array}{ccc}-16&0&0\0&-16&0\0&0&-16end{array}right]=left[begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}right]$

Answer 2

Если Вам не сложно....Помогите мне тоже, пожалуйста(( Я Вас оочень прошу(( https://znanija.com/task/31163636