Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка
$(1+x^2)y''+(y')^2+1=0$

Answer 1

Понизим порядок заменой $y'=u(x)$, тогда $y''=u'(x)$, получим

$(1+x^2)u'+u^2+1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$displaystyle dfrac{du}{dx}=dfrac{-1-u^2}{x^2+1}~~Rightarrow~~-intdfrac{du}{1+u^2}=intfrac{dx}{1+x^2}~~Rightarrow~~ -{rm arctg}, u={rm arctg}, x+C_1$

Выполнив обратную замену $u=-{rm tg}({rm arctg}, x+C_1)$, получим

$y'=-{rm tg}({rm arctg}, x+C_1)\ \ y=displaystyle int -{rm tg}({rm arctg},x+C_1)dx$

$-{rm tg}({rm arctg},x+C_1)=-dfrac{{rm tg}({rm arctg}, x)+{rm tg}, C_1}{1-{rm tg}({rm arctg}, x){rm tg}, C_1}=dfrac{x+{rm tg}, C_1}{x{rm tg}, C_1-1}$

Тогда

$y=displaystyle intdfrac{x+{rm tg}, C_1}{x{rm tg}, C_1-1}dx=int bigg(frac{({rm tg}^2C_1+1){rm ctg}, C_1}{x{rm tg}, C_1-1}+{rm ctg}, C_1bigg)dx=\ \ \ =left({rm tg}, C_1+{rm ctg}, C_1right)intfrac{dx}{x{rm tg}, C_1-1}+{rm ctg}, C_1int dx=\ \ \ =({rm tg}, C_1+{rm ctg}, C_1)cdot {rm ctg}C_1ln|x{rm tg}, C_1-1|+x{rm ctg}, C_1+C_2=\ \ \ =boxed{({rm ctg}^2C_1+1)ln|x{rm tg}, C_1-1|+x{rm ctg}, C_1+C_2}$

Answer 2

То что в знаменателе умножили tg(C1) мы можем его представить 1 / ctg(C1) и закинуть сразу в числитель

Answer 3

Понял. Спасибо огромное. Вы мне очень помогли)

Answer 4

На здоровье!)

Answer 5

У вас описка в 2-х последних строчках. Надо x*сtgC1, а не x*ctgx .

Answer 6

спасибо, благодарю за находчивость! Исправлю как только смогу

Answer 7

$(1+x^2)cdot y''+(y')^2+1=0; ; ; to ; ; ; F(x,y',y'')=0; ; to \\u=y'(x); ,; ; u'=y''; ,\\(1+x^2)cdot u'+u^2+1=0; ,; ; frac{du}{dx}=-frac{1+u^2}{1+x^2}; ,\\int frac{du}{1+u^2}=-int frac{dx}{1+x^2}\\arctgu=-(arctgx+C_1); ; Rightarrow ; ; u=-tg(arctgx+C_1)\\u=-frac{tg(arctgx)+tgC_1}{1-tg(arctgx)cdot tgC_1}; ,; ; ; (; tgC_1=const; ,; ; tgC_1=C; )\\u=-frac{x+C}{1-Ccdot x}; ; to ; ; y'(x)=-frac{x+C}{1-Ccdot x}$

$frac{dy}{dx}=-frac{x+C}{1-Ccdot x}\\int dy=-int frac{x+C}{1-Ccdot x}, dx; ; ,; ; int dy=int frac{x+C}{Ccdot x-1}, dx\\y=frac{1}{C}cdot int frac{x+C}{x-frac{1}{C}}, dx=frac{1}{C}cdot int Big (1+frac{C+frac{1}{C}}{x-frac{1}{C}}Big ), dx=frac{1}{C}cdot int Big (1+frac{C^2+1}{C}cdot frac{1}{x-frac{1}{C}}Big )dx=\\=frac{1}{C}int dx+frac{C^2+1}{C}cdot int frac{dx}{x-frac{1}{C}}=frac{1}{C}cdot x+frac{C^2+1}{C}cdot ln|x-frac{1}{C}|+C_2; ;$

$y=frac{x}{C}+frac{C^2+1}{C}cdot ln|frac{Cx-1}{C}|+C_2$

$P.S.; ; int frac{x+C}{Cx-1}, dx=int frac{Cx-1+1+C^2}{Cx-1}, dx=int (1+frac{C^2+1}{Cx-1})dx=\\=x+(C^2+1)cdot frac{1}{C}, ln|Cx-1|+C_2; ;\\underline {y=x+frac{C^2+1}{C}cdot ln|Cx-1|+C_2; ,; ; C=tgC_1; ,; frac{1}{C}=ctgC_1}$

Answer 8

Благодарю за помощь. У Вас в решении тоже опечатка по-моему. Когда считаем интеграл - вторая строчка перед P.S. - мы выносим (C^2+1)/C в качестве множителя за интеграл, при этом у нас уже перед интегралом находится множитель 1/С. Они перемножаются и будет вроде как (С^2+1)/(C^2), т.е в знаменателе должно быть C^2 в первом варианте записи ответа.

Answer 9

Да, не умножила.