Question

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений:
(x^2)*y' =(y^2)+4*x*y+2*x^2

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных уравнений берут замену $y=ux$

$y=u'x+u$

$x^2(u'x+u)=u^2x^2+4ux^2+2x^2\ u'x+u=u^2+4u+2\ u'x=u^2+3u+2$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, тогда разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения

$displaystyle intfrac{du}{u^2+3u+2}=intfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~intfrac{du}{(u+1)(u+2)}=intfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~\ \ \ Rightarrow~~ intfrac{u+2-(u+1)}{(u+1)(u+2)}du=intfrac{dx}{x}~~Rightarrow~~intbigg(frac{1}{u+1}-frac{1}{u+2}bigg)du=intfrac{dx}{x}\ \ \ ln|u+1|-ln|u+2|=ln |x|+ln C\ \ ln bigg|frac{u+1}{u+2}bigg|=ln |Cx|\ \ frac{u+1}{u+2}=Cx$

Сделаем обратную замену, подставив u = y/x, получим:

$displaystyle frac{frac{y}{x}+1}{frac{y}{x}+2}=Cx~~Rightarrow~~ frac{y+x}{y+2x}=Cx~~Rightarrow~~ boxed{y=dfrac{x(1-2Cx)}{Cx-1}}$