Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Answer 1

Ответ:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}$

Пошаговое объяснение:

это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, найдем решение вида

$y=e^{kx}$, где к - некоторое число.

Подставим в уравнение:

$(e^{kx})''-6*(e^{kx})'+9*e^{kx}=0\k^{2}*e^{kx}-6k*e^{kx}+9*e^kx}=0|*e^{-kx}\k^{2}-6k+9=0$

кстати, это называется характеристическое уравнение дифференциального однородного уравнения..

$k_{1}=k_{2}=-3$

Таким образом решение:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}$

P.S.

по Вашим данным можно найти и частное решение:

$y(0)=1:\1=(C_{1}+C_{2}*0)e^{(-3*0)}\1=C_{1}*e^{0}=C_{1}\y(x)=(1+C_{2}x)e^{-3x}\y'(0)=0:\y'(x)=(e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x})'=(e^{-3x})'+C_{2}(xe^{-3x})'=-3*e^{-3x}+C_{2}(e^{-3x}-3xe^{-3x})=(-3+C_{2}(1-3x))e^{-3x}\0=(-3+C_{2}(1-3*0))e^{(-3*0)}=(-3+C_{2})*1;C_{2}=3\\y(x)=(1+3x)e^{-3x}$

Answer 2

$y''-6y'+9y=0; ; ,; ; y(0)=1; ,; y'(0)=0\\1); ; k^2-6k+9=0; ; to ; ; (k-3)^2=0; ,; ; k_1=k_2=3; ; Rightarrow \\underline {y_{obshee}=C_1cdot e^{3x}+C_2cdot e^{3x}=e^{3x}cdot (C_1+C_2x)}\\2); ; y(0)=1:; ; 1=e^0cdot (C_1+C_2cdot 0); ,; ; 1=C_1; ,\\y'_{obshee}=3, e^{3x}cdot (C_1+C_2x)+e^{3x}cdot C_2; ,\\y'(0)=0:; ; 0=3cdot C_1+C_2; ,; ; 3cdot 1+C_2=0; ,; C_2=-3; ,\\underline {y_{chastn}=e^{3x}cdot (1-3x)}$