Ответы
Добрый день! Решение данных задач, сводится к знаниям теории.
№919
1) Если r - остаток от деления A на M, где A и M - натуральные числа, то остаток от деления на m числа A^k, где k - натуральное число, равен остатку от деления на m числа r^k (действия могу повторятся при необходимости)
2) Если r1 и r2 - остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то остатки от деления чисел a +b, a-b, ab совпадают с остатками от деления на m чисел r1+r2, r1-r2, r1*r2
Таким образом:
а) 5*7^12 -5 :: 30 Так как все числа делятся на 5, то достаточно доказать, что
7^12 - 1 :: 6 по второму свойству r1 = 7^12 :: 6 = 1^12 = 1 r2 = -1 :: 6 = 1 (если не понятно, то прочтите статью остаток от отрицательных чисел)
r1 - r2 = 1 - 1 = 0 => делится на 6 => 5*7^12 - 5 :: 30
б) Аналогично
7 * 3^11 + 7 :: 28 достаточно доказать 3^11 + 1 :: 4
r1 = 3^11 :: 4 = 1^11 = 1 r2 = 1 :: 4 = 3
r1 + r2 = 1 + 3 = 4 :: 4 = 0 => число 3^11 *7 + 7 :: 28
№ 920
Данный номер можно решать двумя путями
1) От обратного, то есть предположить, что они отрицательные или равны 0, тогда в итоге мы получим противоречие => гипотеза, что они отрицательны или равны 0 неверно => они положительны.
2) (Этот способ рациональный на мой взгляд)
Так как необходимо доказать, что выражения положительны при любом аргументе, то => необходимо решить неравенство > 0 при котором решение должно получится: аргумент (z, x ...) принадлежит (- ∞; + ∞)
a) z^2 + 2z + 4 > 0
D = 4 - 16 < 0 => парабола не пересекает ось x и имеет всегда постоянный знак. Пробным значением или заметя, что коэффициент при z^2 > 0 => что выражение всегда положительно => z ∈(- ∞; + ∞)
Б) аналогично
x^2 - 4x + 5 > 0
D = 16 - 20 < 0 Пробным значением или заметя, что коэффициент при x^2 > 0 => что выражение всегда положительно => x ∈(- ∞; + ∞)
в) 2x^2 - 6x + 5 > 0
D = 36 - 40 < 0 Пробным значением или заметя, что коэффициент при x^2 > 0 => что выражение всегда положительно => x ∈(- ∞; + ∞)
№921
Тут необходимо просто знать теорию и определение понятий.
Необходимая теория взята из источника (к сожалению, сайт запрещает прикреплять ссылку на источник, что очень печально, поэтому просто поблагодарю человека добрый словом)
■ Размах ряда чисел- разность наибольшего и наименьшего числа числового ряда.
Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Пример: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.
Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет 31 (33-2=31).
■ Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Пример: Найти моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.
Решение: Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза) . Оно и является модой данного ряда чисел.
■ Медиана.
• В упорядоченном ряде чисел:
Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине.
Пример: В ряде чисел 2, 5, 9, 15, 21 медианой является число 9, находящееся посередине.
Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.
Пример: Найти медиану чисел 4, 5, 7, 11, 13, 19.
Решение: Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа, записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:
(7 + 11) : 2 = 9.
Число 9 и является медианой данного ряда чисел.
• В неупорядоченном ряде чисел:
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Пример 1: Найдем медиану произвольного ряда чисел 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.
Решение: Располагаем числа в порядке возрастания:
1, 3, 5, 17, 19, 21, 25.
Посередине оказывается число 17. Оно и является медианой данного ряда чисел.
Пример 2: Добавим к нашему произвольному ряду чисел еще одно число, чтобы ряд стал четным, и найдем медиану:
5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.
Решение: Снова выстраиваем упорядоченный ряд:
1, 3, 5, 17, 19, 19, 21, 25.
Посередине оказались числа 17 и 19. Находим их среднее значение:
(17 + 19) : 2 = 18.
Число 18 и является медианой данного ряда чисел.
Объём - количество чисел в ряду.
Перейдём непосредственно к решению самой задачи.
Размах при любом n будет одинаковый, так как минимальное число всегда = 2 , max = 100
K = 98
a) при n = 3
Объём
Двоек будет 3, Троек будет 4, Четвёрок будет 5 и число 100
V = 3+4+5+1 = 13
Среднее арифметическое:
S = (2*3 + 3*4 + 4*5 + 100)/13 = 138/13 = 10
Медиана
Ряд нечётный , так как 2; 2;2 3;3;3;3; 4;4;4;4;4; 100
M = 3
б) при n = 8
V = 8 + 9 +10 + 1 = 28
S = (16+27+40+100)/28 = 183/28
M = 6/2 = 3
в) при n = 20
V = 20 + 21 +22 +1 = 64
S = (40 + 63 + 88 + 100)/64 = 4.546875
M = (6/2) = 3
Таким образом: K - не меняется V - увеличивается M - не меняется S = Уменьшается , где K - размах V - объём M - медиана S - среднее арифметическое
Хм.. Ну вроде всё :)