Question

Интересная задача! Много баллов!

Answer 1

Задача. В прямой угол вписана окружность с радиусом (3+2√2). Найти радиус меньшей окружности, также вписанной в этот угол и касающейся данной окружности.

Решение:

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

AB = AC и АО - биссектриса угла ВАС, значит ΔАОВ - равнобедренный прямоугольный треугольник из этого следует, что AB = OB; тогда OA = OB√2 = (3+2√2)√2 = 4 + 3√2

Проведем O₁E ⊥ OB и обозначим O₁H = x - искомый радиус, тогда

$OO_1=x+3+2sqrt{2}\ EO=3+2sqrt{2}-x$

Из подобия треугольников АОВ и $O_1EO$:

AO/OO₁ = OB/OE  ⇒ $dfrac{4+3sqrt{2}}{x+3+2sqrt{2}}=dfrac{3+2sqrt{2}}{3+2sqrt{2}-x}$

$(4+3sqrt{2})(3+2sqrt{2}-x)=(3+2sqrt{2})(x+3+2sqrt{2})\ 12+8sqrt{2}-4x+9sqrt{2}+12-3xsqrt{2}=3x+9+6sqrt{2}+2xsqrt{2}+6sqrt{2}+8\ 5sqrt{2}+7=5xsqrt{2}+7x\ 5sqrt{2}+7=(5sqrt{2}+7)x\ x=1$

Ответ: 1 см.

Answer 2

Могут быть где-то опечатки - сообщайте! Будут вопросы - задавайте.

Answer 3

Огромное спасибо Вам!