Ответы
Добрый день! Решение см. фото.
Для нахождения закономерности, выполним банальное деление первых членов данного ряда и найдём остатки. (== - это я сразу пишу остаток от деления )
1) 7/ 400 == 7
2) 49 / 400 == 49
3) 343 / 400 == 343
4) 2401 / 400 == 1
И вот замечаем уже, что то получается у нас остаток стал меньше чем был (1 < 343)
Далее для того, чтобы не считать 7^5 вспомним следующие свойство:
Если r1 и r2 - остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то a*b, a+b совпадают с остаткоми от деления на m чисел r1*r2 ; r1+ r2
5) 2401 * 7 == 1 * 7 = 7
6) 2401 * 49 == 1 * 49 = 49
7) 2401 * 343 == 1 * 343 = 343
8) 2401 * 2401 == 1 * 1 = 1
Таким образом, думаю понятно, что если мы продолжим, то через каждое 4 число мы будем получать остатки 7 49 343 1
Тогда найдём сколько в ряду будет четвёрок (ну то есть разобьём ряд по 4 члена)
У нас в ряду 2019 чисел (2019 слагаемых, но я оперирую тем, что мы просто находим сумму ряда)
=> 2019 / 4 = 504 и 3 в остатки
Значит мы можем представить остатки этого огромного числа следующим образом
504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3 где r1,r2,r3 - остатки от деления чисел 7^2017 7^2018 7^2019
Если число 504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3 делит на 400 без остатка => и наше первоначальное число делится на 400 без остатка.
504 ( 400) + r1 + r2 +r2 : 400
Так как 504 * 400 : 400, то нам достаточно доказать, что r1+r2+r3 : 400
Найдём r1, r2, r3
Так как 7^2016 : 400 = 1 (в последней четвёрке это последнее число => остаток 1)
Значит
7^2017 - это первое число в новой четвёрке
=> r1 = 7 r2 = 49 r3 = 343
r1 + r2 + r3 = 399
а 399 не делится на 400 => всё число не делится на 400
Ответ: Данное число не делится на 400 без остатка. Остаток от деления = 1