Question

(20 балов) Срочно нужно!!!Помогите пожалуйста!!

Answer 1

a) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$dfrac{dy}{dx}=e^{2x}cdot e^{-y}$

Разделим же переменные и проинтегрируем обе части уравнения:

$displaystyle int e^ydy=int e^{2x}dx~~~Rightarrow~~~ e^y=0.5e^{2x}+C\ \ \ boxed{y=ln(0.5e^{2x}+C)}$

б) Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, также однородное. Для однородных диф. уравнений используют замену $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$

$(x-2ux)(u'x+u)=2x+ux\ (1-2u)(u'x+u)=2+u\ u'x+u-2uu'x-2u^2=2+u\ u'x(1-2u)=2+2u^2\ \displaystyle int dfrac{(2u-1)du}{1+u^2}=-int frac{2dx}{x}~~Rightarrow~~~ int frac{d(u^2+1)}{1+u^2}-int frac{du}{1+u^2}=-intdfrac{2dx}{x}\ \ \ln|1+u^2|-{rm arctg}u=-2ln|x|+C$

Сделаем обратную замену, подставив u = y/x

$lnbigg|1+dfrac{y^2}{x^2}bigg|-{rm arctg},dfrac{y}{x}=-2ln|x|+C$